祖冲之对计量科学的贡献
祖冲之对计量科学的贡献 祖冲之（429－500）是我国南北朝时期的著名科学家，在中国科学史上享有崇高地位。在今天的人们看来，他推算出了高精度的圆周率，使之领先世界一千多年，是一位享誉世界的大数学家；他提出了《大明历》，内含多项创新，是一位杰出的天文学家；他成功复原了指南车，使古代绝技失而复得，是一位优秀的机械发明家；……。对祖冲之的这些评价，是完全正确的，但还不够全面，因为他为今人所称道的那些成就，主要是围绕着计量科学的发展而做出的。他首先是一位杰出的计量学家，对中国古代计量科学的发展做出了巨大贡献。与此同时，在他的计量科学工作中，也有个别不严谨之处。一．对测量精度和尺度标准的重视祖冲之一生的科学工作，大都与计量有关。他有着丰富的计量实践。在给宋孝武帝所上请求颁行《大明历》的表中，他曾经提到，在治历实践中，他常常“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策” ，自己动手进行测量和推算。测量离不开择定基准、核对尺度，测量本身不可避免还会涉及精度问题，这都与计量有关。对这些问题的重视，使他很自然地步入了计量领域。
精度问题是促进计量进步的重要因素，祖冲之对之十分重视。他曾经指出：“数各有分，分之为体，非细不密。” 所谓“细”，即是指测量数据的精度要高，他认为，只有高精度的测量，才能使测量结果与实际密合。他不但在理论上高度重视精度问题，而且在实践中，也身体力行，努力追求尽可能高的测量精度。他自称在测量和处理各类数据时的指导思想是“深惜毫厘，以全求妙之准；不辞积累，以成永定之制。”（引文出处同注〔2〕）。他在测量实践中的“目尽毫厘”，在推算圆周率时精确到小数点后7位，就是其重视精度的具体表现。正是这种重视，使他在计量科学领域做出了令人景仰的成就。
在对计量基准的择定方面，祖冲之首先值得一提的工作是他对前代计量标准器的保存和传递。他的这一事迹与西晋荀勖考订音律的成果有关。
荀勖考订音律的事情发生在西晋初期。晋朝立国之后，在礼乐方面沿用的是曹魏时期杜夔所定的音律制度。但是，杜夔所定的音律并不准确，晋武帝泰始九年（公元273年），荀勖在考校音乐时，发现了这一问题，于是受武帝指派，做了考订音律的工作，制订了新的尺度。《晋书•律历志上》对此有简要记载：
起度之正，《汉志》言之详矣。武帝泰始九年,中书监荀勖校太乐，八音不和，始知后汉至魏，尺长于古四分有余。勖乃部著作郎刘恭依《周礼》制尺，所谓古尺也。依古尺更铸铜律吕，以调声韵。以尺量古器，与本铭尺寸无差。又，汲郡盗发六国时魏襄王冢，得古周时玉律及钟、磬，与新律声韵?同。于时郡国或得汉时故钟，吹律命之皆应。 荀勖通过考订音律，制作了新的标准尺，并对之做了一系列的测试。测试结果表明，他的新尺符合古制，制作是成功的。
荀勖律尺的制作成功，在当时影响很大，著名学者裴钛就曾上言：既然荀勖新尺已经证明当时流行的尺度过大，就应该对度量衡制度加以改革，或至少对医用权衡进行改革：
荀勖之修律度也，检得古尺短世所用四分有余。钛上言：“宜改诸度量。若未能悉革，可先改太医权衡。此若差违，遂失神农、岐伯之正。药物轻重，分两乖互，所可伤夭，为害尤深。”卒不能用。 裴钛的建议未被采纳，荀勖律尺就只能限于宫廷内部，考订音律时使用。
中国古代在制订度量衡制度时，有一个传统，就是首先要考订古制。荀勖律尺是经历三国时期度量衡混乱之后，人们用“科学”方法考订出来的第一个标准尺，因此深受后人重视，《晋书》把它放在“审度”栏目之下，紧接着“起度之正”加以叙述，就表明了这一点。从这个意义上说，荀勖律尺是后人制订度量衡制度的圭臬。而这样的圭臬，被祖冲之设法搜罗到并传递下去了。
祖冲之是如何保存并传递荀勖律尺的，我们一无所知。导致我们做出这一判断的，是唐代李淳风在考订历代尺度时，对“祖冲之所传铜尺”的记载：
祖冲之所传铜尺。
……梁武《钟律纬》云：“祖冲之所传铜尺，其铭曰：‘晋泰始十年,中书考古器，揆校今尺，长四分半。所校古法有七品：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉律，三曰西京铜望臬，四曰金错望臬，五曰铜斛，六曰古钱，七曰建武铜尺。姑洗微强，西京望臬微弱，其余与此尺同。’铭八十二字。”此尺者，勖新尺也。今尺者，杜夔尺也。雷次宗、何胤之二人作《钟律图》，所载荀勖校量古尺文，与此铭同。而萧吉《乐谱》，谓为梁朝所考七品，谬也。今以此尺为本，以校诸代尺云。 引文中省略的部分是《晋书》对荀勖制订律尺过程的介绍。通过对祖冲之所传铜尺上的铭文的研读，李淳风断定它就是荀勖所发明的律尺，并以之为标准，对前代诸多尺度做了校核。就铭文而言，该尺是荀勖律尺，断无可疑，但该尺是否为祖冲之所传呢？李淳风的依据是梁武帝《钟律纬》的记载。梁朝上承南齐，祖冲之晚年是南齐重臣，他去世两年而梁武帝即位，所以梁武帝对他的记述应该是可靠的，该尺应该确实是祖冲之所传。
祖冲之能搜罗到荀勖律尺，殊为不易。因为荀勖律尺只是用来调音律，并未用于民间，不可能在社会上流传，一般人是难以觅其踪迹的。而在宫廷中保存，也同样难逃厄运。西晋末年，战乱大起，京城洛阳被石勒占领，晋朝皇室匆忙南迁，各种礼器，尽归石勒，以至于东晋立国之时，礼乐用器一无所有。这种状况，直到东晋末年，也未得到彻底改善。对此，《隋书•律历志上》记载道：
至泰始十年，光禄大夫荀勖，奏造新度，更铸律吕。元康中，勖子幌复嗣其事。未及成功，属永嘉之乱，中朝典章，咸没于石勒。及帝南迁，皇度草昧，礼容乐器，扫地皆尽。虽稍加采掇，而多所沦胥，终于恭、安，竟不能备。 在这种情况下，荀勖律尺的命运，也不会好到哪里去。而从西晋灭亡到祖冲之的时代，时间又过去了100多年，由此，祖冲之要搜寻到荀勖律尺，难度可想而知。但祖冲之最终还是找到了该尺，并把它传给了后人，这样，李淳风才能以之为据考订历代尺度。这件事情本身表明，祖冲之对尺度的标准器问题是非常重视的。二．对新莽嘉量的研究
祖冲之不但注意搜集和保存前代的标准尺，而且还注重对前代度量衡标准器的研究。在祖冲之之前，中国历史上有两件标准量器最为著名，一件是战国时的栗氏量，一件是西汉末年的新莽嘉量，祖冲之对它们都做了研究，并取得了令人景仰的成就。本节我们先说祖冲之对新莽嘉量的研究。
新莽嘉量是刘歆设计制作的。祖冲之在探究新莽嘉量的过程中，求得了精确度高达小数点后7位的圆周率值，并以之为据，指出了刘歆设计的粗疏之处，从而把中国计量科学推进到了一个新的高度。
西汉末年，王莽秉政，为了满足其托古改制的政治需要，他委派以刘歆为首的一批音律学家，进行了一次大规模的度量衡制度改革。这次改革的成果之一是制作了一批度量衡标准器，新莽嘉量就是其中之一。新莽嘉量是一个五量合一的标准量器，其主体是斛量，另外还有斗、升、龠、合诸量。在嘉量的五个单位量器上，每一个都刻有铭文，详细记载了该量的形制、规格、容积以及与它量之换算关系，例如斛量上的铭文是：
律嘉量斛，方尺而圆其外，?旁九厘五毫，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。 此处冥同?，表示面积。铭文反映了刘歆的设计思想。按照当时的规定（即《九章算术》所谓的粟米法），1斛等于10斗，容1620立方寸，因此，在深1尺的前提下，要确保斛的容积为1620立方寸，必须其内圆的截面积为162平方寸，即刘歆所谓之“冥百六十二寸”。也就是说，圆的面积是确定了的，需要解决的，是其直径的大小。当时，人们是用圆内接正方形来规定圆的大小的，即所谓“方尺而圆其外”，但在内接正方形边长为1尺的情况下，圆面积不足162平方寸，所以需要在其对角线两端加上一段距离，这段距离就叫“?旁”，如下图所示。 根据刘歆的设计思想，嘉量斛的容积可以表示为：
1斛＝π( ㄍ2＋?旁)2×1＝1.62（尺3）
可见，在嘉量的设计过程中，圆周率π是一个举足轻重的因素，它决定了“?旁”的大小，而“?旁”则决定了斛的设计精度。刘歆最后得出的“?旁”为9厘5毫，根据这一数字，可以倒推出他使用的π值是3.1547。考虑到当时通用的圆周率值是周三径一，刘歆的设计已经走在了时代的前面。
因为圆周率π在嘉量设计中具有举足轻重的作用，后人在研究刘歆的设计时，就不能不将注意力放在圆周率上。祖冲之即是如此。为了考证新莽嘉量的设计是否科学，祖冲之运用刘徽发明的割圆术，经过繁杂的运算，得到了3.1415926＜π＜3.1415927这样的结果，从而使得中国数学在圆周率推算方面，取得了远远领先于欧洲数学的成就。祖冲之为今人所景仰，主要也是出于他的这一数学发展史上里程碑式的成就。祖冲之对圆周率的研究，人们已经耳熟能详，这里不再赘述。
需要指出的是，祖冲之推算圆周率的目的，是为了考校刘歆的设计是否精确，也就是说，是着眼于计量科学的发展的。这是他在计量科学研究中所获得的数学成果。在他的时代，人们为纯数学而研究数学的思想并不强，当时人们研究圆周率，有两种传统，一种是为了解决天文学问题，一种是为了解决实际的计量问题。张衡、王蕃、皮延宗等代表的是前一种传统，而刘歆、刘徽、祖冲之等则代表了后一种传统。特别是祖冲之，他求得了精确的圆周率值以后，接着就用新的圆周率值，对刘歆的数据做了校验。这件事本身就表明了他推算精确的圆周率值的目的。
关于祖冲之对新莽嘉量的校验结果，《隋书•律历志上》有所记载：
其斛铭曰：“律嘉量斛，方尺而圆其外，?旁九厘五毫，?百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，?旁一分九毫有奇。刘歆?旁少一厘四毫有奇，歆数术不精之所致也。 “其斛”，指的就是新莽嘉量。祖冲之以他推算的圆周率值来检验刘歆的设计，发现刘歆的“?旁”不够精确，少了1厘4毫。祖冲之的推算结果可以从上述式子中得出，以祖率π＝3.1415926代入上式，则有
1斛＝3.1415926×( ㄍ2＋?旁)2×1＝1.62（尺3）
从这个式子中解出的?旁值为0.01098933尺，即“一分九毫有奇”，将此值与刘歆的结果9厘5毫相比，刘歆的?旁值确实少了“一厘四毫有奇”。所以，《隋书•律历志》的作者李淳风指出，之所以如此，是刘歆“数术不精之所致也”。这种“不精”，主要就表现在其圆周率值不够精确。在祖冲之之前，刘徽曾以他推算出的π＝3.14的圆周率值计算过嘉量斛的直径，但他未提及?旁，而且计算精度也不及祖冲之。祖冲之是历史上第一个明确指出刘歆?旁的误差的人。
应该指出，1厘4毫的差距，确实很小。当时的测量精度，很难达到毫的量级。正因为如此，这一结果的取得，是计量科学得到充分发展的标志。高精度圆周率值的发现，是当时计量科学发展在数学科学领域取得的重大成果。
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