北京大学1997年研究生入学考试：离散数学试题（共50分）
1、(7分) 在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。 “每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。” 2、(8分) 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，笑曰：你们3人中有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人？ 3、(3分) 设根树T有17条边，12片树叶，4个4度内点，1个3度内点。求T的树根的度数。 4、(7分) 设无向图G是n(n≥3)个顶点的极大平面图，证明G的对偶图G*的边连通度l(G)≥2，并且G*是3-正则图(Δ(G)=d(G)=k的无向图G称作k-正则图)。 5、(4分) 设R={<x,y>|x,yÎ；nÙ；x 3y=12}，求R2。 6、(6分) 设A为集合，B=P(A)-{Æ；}-{A}，且B≠Æ；。 求偏序集<B,Í；>的极大元，极小元，最大元和最小元。 7、(4分) 设A={1,2,3}，fÎ；AA，且f(1)=f(2)=1，f(3)=2，定义G：A→P(A)，G(x)=f-1(x)。说明G有什么性质(单射、满射和双射)，计算值域ranG。 8、(4分) 设I是格L的非空子集，如果 (1)"a,bÎ；I，有aÚ；bÎ；I， (2)"aÎ；I，"xÎ；L，有x≤aÞ；xÎ；I。 则称I是格L的理想。 证明：格L的理想是一个子格。 9、(7分) 设G为n阶群，aÎ；G。令 H={xax-1|xÎ；G}，N(a)={x|xÎ；GÙ；ax=xa}。 证明： ①|H|=[G:N(a)]； ②设C={x|xÎ；GÙ；"yÎ；G(xy=yx)}是群G的中心，且|C|=m，则|H|ㄏn/m。页:
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