正交试验
在生产和科研中，为了研制新产品，改革生产工艺，寻找优良的生产条件，需要做许多多因素的试验。 在方差分析中对于一个或两个因素的试验，我们可以对不同因素的所有可能的水平组合做试验，这叫做全面试验。当因素较多时，虽然理论上仍可采用前面的方法进行全面试验后再做相应的方差分析，但是在实际中有时会遇到试验次数太多的问题。例如，生产化工产品，需要提高收率（产品的实际产量与理论上投入的最大产量之比），认为反应温度的高低、加碱量的多少、催化剂种类等多种因素，都是造成收率不稳的主要原因。根据以往经验，选择温度的三个水平：800C、850C、900C；加碱量的三个水平：35、48、55（kg）；催化剂的三个水平：甲、乙、丙三种。如果做全面试验，则需33=27次。如果有3个因素，每个因素选取4个试验水平的问题，在每一种组合下只进行一次试验，所有不同水平的组合有43=64种，如果6个因素，5个试验水平，全面试验的次数是56=15，625次。对于这样一些问题，设计全面的试验往往耗时、费力，往往很难做到。因此，如何设计多因素试验方案，选择合理的试验设计方法，使之既能减少试验次数，又能收到较好的效果。“正交试验法”就是研究与处理多因素试验的一种科学有效的方法。正交试验法在西方发达国家已经得到广泛的应用，对促进经济的发展起到了很好的作用。在我国，正交试验法的理论研究工作已有了很大的进展，在工农业生产中也正在被广泛推广和应用，使这种科学的方法能够为经济发展服务。
正交试验法就是利用排列整齐的表 -正交表来对试验进行整体设计、综合比较、统计分析，实现通过少数的试验次数找到较好的生产条件，以达到最高生产工艺效果。正交表能够在因素变化范围内均衡抽样，使每次试验都具有较强的代表性，由于正交表具备均衡分散的特点，保证了全面试验的某些要求，这些试验往往能够较好或更好的达到试验的目的。正交试验设计包括两部分内容：第一，是怎样安排试验；第二，是怎样分析试验结果。本讲将就上述两部分内容给以简单介绍。
10.1. 正交试验设计
10.1.1 用正交表安排试验
在实际应用中，对于多因素多水平的试验，安排全面试验是不现实的。我们选择其中一部分组合，利用正交表安排试验，使得试验次数不多，但也能得到比较满意的效果。
正交表是一系列规格化的表格，每个表都有一个记号，如 ， 等，（见表10.1.1和表10.1.2）。以 为例， 表示正交表，9是正交表的行数，表示需要做的试验次数。4是正交表的列数，表示最多可以安排的因素的个数。3是因素水平数，表示此表可以安排三水平的试验。
10.1.1正交表 10.1.2正交表
列号
试验号 1 2 3 4 5 6 7 列数
试验号 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8 1 1 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 1 1
1 2 2 2 2 2 1
2 2 1 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 1
1 2 1 1 1 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1
2
3
4
5
6
7
8
9 1 1 3 2
2 1 1 1
3 1 2 3
1 2 2 1
2 2 3 3
3 2 1 2
1 3 1 3
2 3 2 2
3 3 3 1
从表10.1.1和表10.1.2可见， 有9行，4列，表中由数字1，2，3组成； ，有8行，7列，表中由数字1，2组成。
正交表的特点：
（a）每列中数字出现的次数相同，如 表每列中数字1，2，3均出现三次；如 表每列中数字1，2均出现四次。
（b）任取两列数字的搭配是均衡的，如 表里每两列中（1，1），（1，2），…，（3，3），九种组合各出现一次；如 表里每两列中（1，1），（1，2），（2，1） 和（2，2）各出现两次。
这种均衡性是一般正交表构造的特点，它使得根据正交表安排的试验，其试验结果具有很好的可比性，易于进行统计分析。常用的正交表有二水平的，如 ， ， ， ；有三水平的，如 ， ；有四水平、五水平的，如 、 等，还有水平不等的，如 ， 等。
用正交表安排试验时，根据因素和水平个数的多少以及试验工作量的大小来考虑选用哪张正交表，下面举例说明。
例10.1.1 为提高某种化学产品的转化率（%），考虑三个有关因素：反应温度A（℃），反应时间B（min）和使用催化剂的含量C（%）。各因素选取三个水平，如表6.3.3所示。
表10.1.3转化率试验因素水平表
因 素
水 平 温度A 时间B 催化剂含量C
1
2
3 80
85
90 90
120
150 5
6
7
如果做全面试验，则需33=27次，若用正交表L9（34），仅做9次试验。将三个因素A，B，C分别放在L9（34）表的任意三列上，如将A，B分别放在第1，2列上，C放在第3列上。将表中A，B，C所在的三列上的数字1，2，3分别用相应的因素水平去替代，得9次试验方案。以上工作称为表头设计.再将9次试验结果转化率数据列于表上（见表10.1.4），并在表上进行计算。
表10.1.4 转化率试验的正交表
因素
试验号 反应温度A 反应时间B 催化剂含量C 转化率（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 80(1)
85(2)
90(3)
80(1)
85(2)
90(3)
80(1)
85(2)
90(3) 90(1)
90(1)
90(1)
120(2)
120(2)
120(2)
150(3)
150(3)
150(3) 6(2)
5(1)
7(3)
5(1)
7(3)
6(2)
7(3)
6(2)
5(1) 31
54
38
53
49
42
57
62
64
K1
K2
K3 141
165
144 123
144
183 171
135
144
k1
k2
k3 47
55
48 41
48
61 57
45
48
表中各列的K1,K2,K3值分别是对应因素第一,二,三水平的试验指标值之和。如因素A，K1=31+53+57=141，它是在九次试验中，所有A在第一水平（即80℃）时试验所得转化率之和。类似地K2=54+49+62=165和K3=38+42+64=144分别是所有A在第二水平（即85℃）和在第三水平（即90℃）时试验所得转化率之和。各列的k1,k2,k3分别是本列的K1,K2,K3分别除以3得到的平均转化率。如对A有K1=141/3=47, K2=165/3=55,K3=144/3=48。
在这个试验中，指标转化率是愈高愈好，经过直观比较各因素的K1,K2和,K3，我们看出，对因素A，最高平均转化率是55%，它出现在第二水平A2，对因素B，最高平均转化率是61%，它出现在第三水平B3。对因素C，最高平均转化率是57%它出现在第一水平C1。因此，从现在的九次试验看，最好的试验条件应是水平组合（A2，B3，C1），也就是温度85℃，反应时间150min，催化剂含量5%.需要注意的是，这个试验水平的组合，是已经做过的九次试验中没有出现过的。它是否真正符合客观实际，还需要通过试验或生产实际来验证。
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